sábado, 28 de julio de 2012

Una vez obtenidas las formulas, podemos corroborarlas tomando polígonos de diferentes lados y remplazarlos en la formula para ver como se acerca al numero "Pi"
tomamos dos polígonos de tres lados, uno incripto y otro circunscrito y comparamos sus medidas, luego aumentaremos sus lados y repetiremos la tarea.

Lados                   Pn/D = n. seno (180/n)                               pn/n = n. tang (180/n)

   3                       (2,5980762...     <      ...             Pi      ...    <    5,1961524...      )
 
  12                      (3,1058286...     <      ...             Pi      ...    <    3,2153902...      )

  48                      (3,1393501...     <      ...             Pi      ...    <    3,1460862...      )

  192                    (3,1414525...     <      ...             Pi      ...    <    3,1418730...      )

  768                    (3,1415838...     <      ...             Pi      ...    <    3,1416102...      )

  3072                  (3,1415921...     <      ...             Pi      ...    <    3,1415937...      )

 
                            aproximaciones por                                   aproximaciones por
                            defecto                                                      exceso


                   Pi = 3,14159265352...                                         Diferencia de amplitud

                   (     3        ;          4     )                                                        1
                 
                   (    3,1      ;         3,2   )                                                       0,1

                   (   3,14     ;        3,15  )                                                      0,01

                   (  3,141    ;       3,142 )                                                     0,001

                   ( 3,1415   ;      3,1416)                                                    0,0001


Por lo que concluimos que las aproximaciones por exceso y por defecto de los polígonos tienden a este numero irracional 


viernes, 27 de julio de 2012

El número Pi 
Se forma un par de sucesiones cuyos terminos son los cocientes de los perimetros de los poligonos inscriptos o circunscripto a una circunferencia, por el diametro de la misma.



P3 < P4 < P5 < P6 <…< L <…< p6 < p5 < p4 < p3    
 D      D      D     D             D           D      D     D      D 
                                           
                                           π


El indice nos indica el numero de lados del polígono
Pn: Perímetro del polígono inscrito de n lados
pn: Perímetro del polígono circunscrito de n lados 









A medida de que el polígono inscrito en la circunferencia vaya aumentando sus lados, Pn/D va a tender al valor Pi (L/D); y a medida de que el polígono circunscrito vaya aumentando sus lados también va a tender al valor de Pi, pero por exceso.
Entonces se establece la siguiente sucesión. (pn/D ; Pn/D) 
Pero para comenzar a colocar valores a la sucesión necesitaremos una formula que nos ayude a encontrar el resultado de dicha sucesión con mas sencillez que la de calcular el perímetro del polígono y dividirlo por el diámetro, par luego aumentar sus lados y repetir dicha tarea.

Calculo de la razón entre el perímetro de un polígono regular y el diámetro de la circunferencia circunscrita.


* El angulo central es a = 360/n 

Perímetro = L x n = Pn


Calculamos L y luego el Perímetro. En omb triangulo rectángulo se verifica: 


Seno (a/2) = (L/2)/r entonces r. seno (a/2) = L/2 entonces 2r. seno (a/2) = L 


2r. seno (360/n:2) = L entonces 2r. seno (360/2n) = L entonces 2r. seno (180/n) = L


y obtenemos así el valor del lado del polígono. 


Ahora calculamos el perímetro: 


L = 2r. seno( 180/n) "multiplicando ambos miembros por n" resulta


nL = n2r.seno (180/n) "por ser nL el perímetro se tiene"


Pn = n2r. seno (180/n) "dividiendo ambos miembros por 2r resulta"


Pn/2r = n2r/2r. seno (180/n) "por propiedad cancelativa se simplifica 2r"


Pn/2r = n.seno (180/n) "al ser 2r = al diámetro de la circunferencia se tiene"


Pn/D = n. seno (180/n) 


Con esta formula hallaremos el valor del extremo inferior del intervalo a medida de que el poligono vaya aumentando sus lados.
Ahora buscaremos la formula para calcular el extremo superior del intervalo.

Calculo de la razón entre el perímetro de un polígono regular y el diámetro de la circunferencia inscrita 








* El angulo central a = 360/n 


* El perímetro es Ln = pn


* El apotema se lo identifica como ap


Calculamos el lado y luego el perímetro 


En el triangulo rectángulo OAB se verifica: 


Tang. (a/2) = (L/2):ap  entonces ap. tang (a/2) = L/2 entonces 2.ap.tang.(a/2) = L


"reemplazando a "a" por 360/n tenemos:


2ap. tang (360/n:2) = L entonces 2ap.tang (360/2n) = L entonces 2ap.tang (180/n) = L 


De esta manera se obtuvo el valor de L.


Calculamos el Perímetro:


L = 2ap.tang (180/n) "multiplicando ambos miembro por n" resulta


nL = n2ap.tang (180/n) "siendo nL el perímetro se tiene que"


pn = n2ap. tang (180/n) "dividiendo en ambos miembro en 2ap tenemos"


pn/2ap = n2ap/2ap. tang (180/n) " por propiedad cancelativa se simplifican 2ap"


pn/2ap = n. tang (180/n) "al ser 2ap igual al diámetro de la circunferencia se tiene"


pn/D = n.tang (180/n)


Con esta formula hallamos los valores del polígono circunscrito que pertenecen al extremo superior del intervalo.


Entonces: (pn/D ; Pn/D) = (n.seno (180/n) ; n.tang (180/n)) 
  





Esta presentación tiene por objetivo que los lectores conozcan uno de los números mas importantes en la historia de la matemática, ese es el numero irracional "Pi", por ello presentamos desde su historia hasta su construcción geométrica para explicarlo a través de encajes de intervalos cerrados racionales.
El número "Pi" es uno de los números mas representativos del conjunto numérico irracional, y está vinculado con la razón existente entre el diámetro de una circunferencia y su longitud. Pero esta razón es diferente a la que se presenta en las demás fracciones, por que este número es una constante en todas las circunferencia sin importar la longitud que tengan.
Las matemáticas actuales nos brindan herramientas muy precisas para calcular el valor de esta constante, herramientas con que las antiguas civilizaciones no contaban, por lo que era una tarea bastante difícil.
A lo largo de la historia, la expresión de Pi ha asumido muchas variaciones. Uno de los mas antiguos textos matemáticos, el papiro de Rhind, (1700 años antes de nuestra era) nos muestra al escriba Ahmés cotejando la evaluación del área de un circulo inscripto en un cuadrado.
La biblia le asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8, los egipcios 4(8/9) al cuadrado, Siddhantas 3.1416, Brahmagupta 3.162277; y en china 3.1724. sin embargo, como era de esperarse, fue en Grecia donde la exacta relacion entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los mas llamativos enigmas a resolver. Un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribe en el círculo un cuadrado, luego un octógono e imagina doblar el número de lados hasta el momento en que el polígono obtenido coincida prácticamente con el círculo. Brisón, por la misma época, hizo intervenir los polígonos circunscriptos. Después de los trabajos de Hipócrates y de Euxodo, Euclides precisa, en sus elementos los pasos al límite necesarios y desarrolla el método de exhaución, consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares inscriptos y circunscriptos y en mostrar la convergencia del procedimiento.
Arquímedes reúne y desarrolla estos resultados. Muestra que el área de un círculo es el semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relacion de la circunferencia al diámetro está comprendida entre 223/71=3.14084 y 22/7=3.14285.
Obtiene luego para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, inscriptos y circunscriptos, de n y 2n lados, relaciones de recurrencia de forma notable, que permiten calcular Pi con una aproximación dada; en método de cálculo recibió el nombre de "algoritmo de Arquímedes".
Para ejemplificar un poco mas la historia, mostramos el siguiente vídeo