El número Pi 
Se forma un par de sucesiones cuyos terminos son los cocientes de los perimetros de los poligonos inscriptos o circunscripto a una circunferencia, por el diametro de la misma.

P3 < P4 < P5 < P6 <…< L <…< p6 < p5 < p4 < p3    

 D      D      D     D             D           D      D     D      D 

                                           

                                           π


El indice nos indica el numero de lados del polígono
Pn: Perímetro del polígono inscrito de n lados
pn: Perímetro del polígono circunscrito de n lados 

A medida de que el polígono inscrito en la circunferencia vaya aumentando sus lados, Pn/D va a tender al valor Pi (L/D); y a medida de que el polígono circunscrito vaya aumentando sus lados también va a tender al valor de Pi, pero por exceso.

Entonces se establece la siguiente sucesión. (pn/D ; Pn/D) 

Pero para comenzar a colocar valores a la sucesión necesitaremos una formula que nos ayude a encontrar el resultado de dicha sucesión con mas sencillez que la de calcular el perímetro del polígono y dividirlo por el diámetro, par luego aumentar sus lados y repetir dicha tarea.

Calculo de la razón entre el perímetro de un polígono regular y el diámetro de la circunferencia circunscrita.

* El angulo central es a = 360/n 

* Perímetro = L x n = Pn


Calculamos L y luego el Perímetro. En omb triangulo rectángulo se verifica: 


Seno (a/2) = (L/2)/r entonces r. seno (a/2) = L/2 entonces 2r. seno (a/2) = L 


2r. seno (360/n:2) = L entonces 2r. seno (360/2n) = L entonces 2r. seno (180/n) = L


y obtenemos así el valor del lado del polígono. 


Ahora calculamos el perímetro: 


L = 2r. seno( 180/n) "multiplicando ambos miembros por n" resulta


nL = n2r.seno (180/n) "por ser nL el perímetro se tiene"


Pn = n2r. seno (180/n) "dividiendo ambos miembros por 2r resulta"


Pn/2r = n2r/2r. seno (180/n) "por propiedad cancelativa se simplifica 2r"


Pn/2r = n.seno (180/n) "al ser 2r = al diámetro de la circunferencia se tiene"


Pn/D = n. seno (180/n) 


Con esta formula hallaremos el valor del extremo inferior del intervalo a medida de que el poligono vaya aumentando sus lados.
Ahora buscaremos la formula para calcular el extremo superior del intervalo.

Calculo de la razón entre el perímetro de un polígono regular y el diámetro de la circunferencia inscrita 

* El angulo central a = 360/n 


* El perímetro es Ln = pn


* El apotema se lo identifica como ap


Calculamos el lado y luego el perímetro 


En el triangulo rectángulo OAB se verifica: 


Tang. (a/2) = (L/2):ap  entonces ap. tang (a/2) = L/2 entonces 2.ap.tang.(a/2) = L


"reemplazando a "a" por 360/n tenemos:


2ap. tang (360/n:2) = L entonces 2ap.tang (360/2n) = L entonces 2ap.tang (180/n) = L 


De esta manera se obtuvo el valor de L.


Calculamos el Perímetro:


L = 2ap.tang (180/n) "multiplicando ambos miembro por n" resulta


nL = n2ap.tang (180/n) "siendo nL el perímetro se tiene que"


pn = n2ap. tang (180/n) "dividiendo en ambos miembro en 2ap tenemos"


pn/2ap = n2ap/2ap. tang (180/n) " por propiedad cancelativa se simplifican 2ap"


pn/2ap = n. tang (180/n) "al ser 2ap igual al diámetro de la circunferencia se tiene"


pn/D = n.tang (180/n)


Con esta formula hallamos los valores del polígono circunscrito que pertenecen al extremo superior del intervalo.


Entonces: (pn/D ; Pn/D) = (n.seno (180/n) ; n.tang (180/n))